论倍率与畸变

光学fuv

提示：本文主要以镜后照体现镜子倍率和畸变关系。相关结论不一定适用目视的感受。


提要
一、放大倍率与畸变类型
二、工欲善其事必先利其器——手机镜头本身的畸变      
三、旗云1042APO畸变的测量

放大倍率与畸变类型
一个理想无畸变镜后图示意如下：

假如镜子倍率为10倍，则此视野中任意位置一个1单位长度的东西，镜后照会显示为10倍大小。
实际总会有畸变，倍率也就不再是10倍了。而是有如下几种倍率：
局部径向倍率：

1个单位长度的尺子放在视场中央如图中1位置时，照片会显示为10倍大小，即默认中央没有畸变，望远镜倍率以中心放大倍率为准。
如图中2、3位置时，照片显示倍率并不等于10倍，而是略大一些或者略小一些。假如尺子1照片有100像素，尺子3有110像素，则3位置的倍率为11倍。
由于1、2、3尺子都是沿着半径方向的，于是称他们显示的倍率为局部径向倍率。显然径向局部倍率是处处不一样的。与尺子所在视场位置有关。
整体径向倍率（或径向平均倍率）：

视场中从圆心沿半径方向放置一个100单位长度尺子，这个尺子占据了一定视场，假如中心1单位长尺子照片有100像素，长尺子有10500像素，则这个视场下镜子的平均放大倍率为10.5倍，称为径向平均倍率。
周向倍率（局部）：

与局部径向倍率类似，只不过尺子不沿半径方向放置，而是垂直于半径方向放置，此时测得倍率称为周向倍率。
于观星而言如果径向倍率与周向倍率差别过大，则边缘星点会飞掉。星点就不是圆心而是很扁长的形状。
桶形畸变与枕形畸变
  
当四周放大倍率小于中心方向倍率时呈现桶形畸变
当四周放大倍率大于中心方向倍率时呈现枕形畸变
对于望远镜通常呈现后者枕形畸变。
可以通过镜后照测量各处的径向放大倍率，从径向放大倍率来体现镜子的畸变。

工欲善其事必先利其器——手机镜头本身的畸变
要从手机镜后去测量望远镜的畸变，必须要保证手机镜头本身没有畸变或者畸变已经被矫正。
通过拍尺子，照片尺子中心5cm、10cm对于像素数，与其它任意位置的5、10cm的像素一致就知道镜头本身照片没有畸变。
测量结果表明，小米13Pro超广角无畸变（手机超广角镜头本身一定有比较明显的畸变，只不过数码矫正的很好）；小米13Pro主摄有轻微畸变，测量50°左右的视场有0.2°左右的畸变。这就能解释为什么用超广角测量旗云1042视场约71.7°而用主摄测量约72.1°，主摄本身有一定畸变导致偏大。

旗云1042APO畸变的测量
手机超广角镜头没有畸变可用来测量镜子的径向倍率。
通过望远镜拍尺子，统计镜后照尺子各刻度对应的像素可以如下图：

横轴是视场度数，取镜子视场70°，中心为0°，最左为-35°，最右为35°
纵轴为放大倍率，中心倍率定义为10倍为基准。
理论上这应该是个对称图形，不对称可能是镜子有切向畸变，或是手机光学平面与镜子光学平面并不平行。
35°局部倍率为11.6意思是：两个同为1米长的尺子分别放于中心、边缘。镜后照边缘的尺子看上去是中心尺子的1.16倍长（注意目视体验会跟镜后非常不同，肉眼看甚至你觉得可能是中心尺子长，边缘尺子短，特别是镜子畸变不大的时候）
30°平均倍率为10.5意思是：一个从视场中心开始占据30°长100米尺子，镜后照会拍出来镜子长105米。
周向倍率不便于测量。理论上只要径向局部倍率测得准可以通过数学计算得到周向倍率。
这里可以回答一个问题，贴吧有人测量青龙1042倍率为10.5倍为何不是10倍。

原因①：拍镜后的时候手机没有无限远对焦。例如小米13pro主摄焦距7.79mm，最近对焦13cm，以这种状态拍会导致物体在照片中变大为1.06倍，也就是10倍的镜子测出来是10.6倍的。
原因②：镜子本身有畸变。测量对象越大，倍率就越会偏离10倍。按照对旗云1042的测量，手机直拍一个建筑如果占据100像素大小，镜子视野占约70°视场，照片像素则会是1050。于是得出镜子为10.5倍的结论。
也可能是①②的综合原因导致测量偏大。
镜子的倍率以中心为准，个人测量旗云1042镜子在15米处合焦时中心倍率为10.10倍，镜子没有在无限远合焦，由望远镜呼吸效应可知10.10是个稍微偏大的测量值，因此旗云实际倍率就是比较准的10倍，最多误差个千分之几。青龙1042同理。


实际表现视场vs无畸变视场
从旗云1042的倍率测量可得71.30°实际视场对应68.55°的无畸变视场，即整个镜子畸变度数为2.75°
另一方面，测得千米视宽为137m，表现为71.6°，以此计算畸变为2.8°
后者计算简单方便，为何要用第一种测量畸变呢？因为有的镜子表现一样，畸变度数也一样，但目视感觉不同，就是因为畸变曲线（倍率视角关系）不同，有的曲线过渡均匀有的过渡不一。
另外关于旗云1042的畸变2.8°个人感觉偏小些，虽然边缘倍率有11倍还多，但目视感觉还没有中心的10倍高。这也是镜后和目视不同的一个地方。因为人眼看大视场镜子边缘要转动眼珠子，而拍照就是镜头固定的。

lsrmai666

学习学习:victory:

我真是个大聪明

在枕形畸变中，边缘区域的放大倍率低于中心区域，因此图像在边缘部分会出现“收缩”。

mnbv09

专业，，，学习了，

Han_Lau

大佬 学习了

ytwiger

技术贴留名。

msms_ZcgLkBDJ

专业贴，，，必须顶                 

刘光岁月ING

够专业，，，，，学习学习。必须顶起！

jinqiguang

讲的深奥学习了。